दीर्घवृत्त frac{x^{2}}{50} + frac{y^{2}}{20} | vedclass

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Question

(D) दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ के लिए उन बिंदुओं का बिंदुपथ जहाँ से लंबवत स्पर्श रेखाएं खींची जा सकती हैं,उसका नियामक

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$4$

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(D) दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ के लिए उन बिंदुओं का बिंदुपथ जहाँ से लंबवत स्पर्श रेखाएं खींची जा सकती हैं,उसका नियामक वृत्त (director circle) कहलाता है,जिसका समीकरण $x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2}$ है।दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ के लिए,$a^{2} = 16$ और $b^{2} = 9$ है।अतः,नियामक वृत्त का समीकरण $x^{2} + y^{2} = 16 + 9 = 25$ है।हमें इस नियामक वृत्त $x^{2} + y^{2} = 25$ और दिए गए दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{50} + \frac{y^{2}}{20} = 1$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं की संख्या ज्ञात करनी है।वृत्त से,$y^{2} = 25 - x^{2}$। इसे दीर्घवृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:$\frac{x^{2}}{50} + \frac{25 - x^{2}}{20} = 1$$100$ से गुणा करने पर:$2x^{2} + 5(25 - x^{2}) = 100$$2x^{2} + 125 - 5x^{2} = 100$$-3x^{2} = -25$$x^{2} = \frac{25}{3}$,जिससे $x = \pm \frac{5}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।चूंकि $x^{2} = \frac{25}{3}  0$,जिससे $y = \pm \sqrt{\frac{50}{3}}$ प्राप्त होता है।अतः,$x$ के दो मानों के लिए $y$ के दो मान मिलते हैं,जिससे कुल $4$ प्रतिच्छेदन बिंदु प्राप्त होते हैं।

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